Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A．過點P（1，m）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B．記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）．連接CB，CP．

（1）當m=3時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當m＞1時，連接CA，問m為何值時CA⊥CP？
（3）過點P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=3時，y=﹣x2+6x

令y=0得﹣x2+6x=0

∴x1=0，x2=6，

∴A（6，0）

當x=1時，y=5

∴B（1，5）

∵拋物線y=﹣x2+6x的對稱軸為直線x=3

又∵B，C關于對稱軸對稱

∴BC=4．

（2）解：連接AC，過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°

∴△ACH∽△PCB，

∴ ，

∵拋物線y=﹣x2+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，

又∵B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=2（m﹣1），

∵B（1，2m﹣1），P（1，m），

∴BP=m﹣1，

又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），

∴H（2m﹣1，0），

∴AH=1，CH=2m﹣1，

∴ ，

∴m= ．

（3）解：∵B，C不重合，∴m≠1，

（I）當m＞1時，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，

（i）若點E在x軸上（如圖1），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，

在△BPC和△MEP中，

，

∴△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，

∴2（m﹣1）=m，

∴m=2，此時點E的坐標是（2，0）；

（ii）若點E在y軸上（如圖2），

過點P作PN⊥y軸于點N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴m﹣1=1，

∴m=2，

此時點E的坐標是（0，4）；

（II）當0＜m＜1時，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，

（i）若點E在x軸上（如圖3），

易證△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，

∴2（1﹣m）=m，

∴m= ，此時點E的坐標是（ ，0）；

（ii）若點E在y軸上（如圖4），

過點P作PN⊥y軸于點N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），

綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（2，0）或（0，4），

當m= 時，點E的坐標是（ ，0）．

【解析】（1）利用中點公式可知，兩對稱點的橫坐標和的一半就是對稱軸的橫坐標坐標；（2）由垂直可構造出相似三角形，用m的代數式表示相似三角形的邊長，代入比例式中構建方程，即可求出；（3）須分類討論，m＞1或0＜m＜1，再分點E在x軸上或y 軸上，由垂直和相等關系構建全等三角形，對應邊相等可求出.