Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）.以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸交x軸于點B，連結EC，AC，點P、Q為動點，設運動時間為t秒。

（1）直接寫出A點坐標，并求出該拋物線的解析式；

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，當t為何值時，為直角三角形？

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點B開始向點A以2個單位/秒的速度運動，過點P作，交AC于點F，過點F作于點G，交拋物線于點Q，連結AQ，CQ.當t為何值時，的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（1，4），；（2）當或時，為直角三角形；（3）當時，的面積最大，最大值為1.

【解析】

（1）由矩形的性質可直接求得A點坐標，可設頂點式方程，把C點坐標代入可求得拋物線的解析式；
（2）根據題意表示出P，Q點坐標，再利用待定系數法求出PQ所在直線解析式，進而將D點代入求出答案；
（3）先求得直線AC的解析式，可分別用t表示出P點和Q點的坐標，從而可求得FQ的長，可用t表示出△ACQ的面積，再根據二次函數的性質可求得其最大值．

解：（1）∵拋物線的對稱軸，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）

∴點A的坐標為（1，4）

設拋物線的解析式為：

把C（3，0）代入拋物線解析式，可得：

解得：

故拋物線的解析式為：，即

（2）由題意得：，

∴

當時

∵

∴ 解得：

當時

∵

∴ 解得：

∴當或時，為直角三角形

（3）∵A（1，4），C（3，0）

設直線AC的解析式為：

解得：

故直線AC的解析式為：

∵P（1，），將代入得，

∴Q點的橫坐標為：

將代入中，得

∴Q點的縱坐標為：

∴

∴

即

∴當時，的面積最大，最大值為1