Question

已知：如圖，點O是等腰直角△ABC斜邊AB的中點，D為BC邊上任意一點．
操作：在圖中作OE⊥OD交AC于E，連接DE．
問題：（1）觀察并猜測，無論∠DOE繞著點O旋轉到任何位置，OD和OE始終有何數量關系？（直接寫出答案）

 

．
（2）如圖所示，若BD=2，AE=4，求△DOE的面積．
（說明：如果經過思考分析，沒有找到解決（2）中的問題的方法，請直接驗證（1）中猜測的結論）

Answer 1

分析：（1）可連接OC，求△COE≌△BOD則△DOE為等腰三角形，可得OD=OE，
（2）第二問中求出△DOE的高OF及一底邊長DE即可，代入面積公式求解面積．

解答：解：（1）作圖
連接OC，如下圖
∵OC=OB，∠ACO=∠B=45°，∠BOD=∠COE
則△COE≌△BOD
∴OD=OE；

（2）連接OC，先證△OBD≌△OEC
∵BD=2，AE=4，
∴得到CE=BD=2，
∴CD=AE=4，∴在Rt△CDE中，DE=2

5

作OF⊥DE，
在Rt△DOE中，∴OF²=DF•EF，
∴OF=

5

S=

1

2

•DE•OF=

1

2

•2

5

• 

5

=5
∴△ODE的面積為5．

點評：本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的性質及判定；正確作出輔助線是解答本題的關鍵．