Question

已知：如圖，點C是線段AB上的任意一點（點C與A、B點不重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE，AE與CD相交于點M，BD和CE相交于點N．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）如果AB的長為10cm，MN=ycm，AC=xcm．
①請寫出y與x之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍．
②當點C在何處時MN的長度最長？并求MN的最大長度．

Answer 1

分析：（1）先根據△ACD和△BCE是等邊三角形可得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，故可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，由SAS定理即可得出結論；
（2）①由（1）中的結論得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形可得出MN∥AB，可先假設其存在，設AC=x，MN=y，進而由平行線分線段成比例即可得出結論；
②由①中y與x的函數關系式可直接得出結論．

解答：（1）證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE與△DCB中，
∵

AC=CD ∠DCB=∠ACE BC=CE

，
∴△ACE≌△DCB；

（2）①∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
∴

MN

AC

=

EN

EC

，
∵AB的長為10cm，MN=ycm，AC=xcm．
∴

y

x

=

10-x-y

10-x

，即y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10）；

②∵由①可知，y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10），即y=-

1

10

（x-5）²+2.5；
∴當x=5時，MN的值最大，MN的最大長度為2.5cm，即當C點是AB中點時，線段MN的最大長度是2.5cm．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、二次函數的最值問題，涉及面較廣，難度適中．