Question

問題1
如圖①，一張三角形ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點．
研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點落在CE上，則∠BDA′與∠A的數量關系是______
研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數量關系是______
研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數量關系，并說明理由．
猜想：______理由
問題2
研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數量關系是______．

Answer 1

（1）根據折疊的性質可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；
（2）由圖形折疊的性質可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，
①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE
即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），
故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
證明如下：
連接AA′構造等腰三角形，
∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，
得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，
（4）如圖④，由圖形折疊的性質可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，
兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．