Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圓⊙O上的一動點（點P與點C位于直線AB的異側）連接AP、BP，延長AP到D，使PD=PB，連接BD．

（1）求證：PC∥BD；

（2）若⊙O的半徑為2，∠ABP=60°，求CP的長；

（3）隨著點P的運動，的值是否會發生變化，若變化，請說明理由；若不變，請給出證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）+；（3）的值不變，.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據圓周角定理得到∠APB=90°，得到∠APC=∠D，根據平行線的判定定理證明；

（2）作BH⊥CP，根據正弦、余弦的定義分別求出CH、PH，計算即可；

（3）證明△CBP∽△ABD，根據相似三角形的性質解答．

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，

∴∠ABC=45°，∠ACB=90°，

∴∠APC=∠ABC=45°，

∴AB為⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，

∵PD=PB，

∴∠PBD=∠D=45°，

∴∠APC=∠D=45°，

∴PC∥BD；

（2）作BH⊥CP，垂足為H，

∵⊙O的半徑為2，∠ABP=60°，

∴BC=2，∠BCP=∠BAP=30°，∠CPB=∠BAC=45°，

在Rt△BCH中，CH=BCcos∠BCH=，

BH=BCsin∠BCH=，

在Rt△BHP中，PH=BH=，

∴CP=CH+PH=+；

（3）的值不變，

∵∠BCP=∠BAP，∠CPB=∠D，

∴△CBP∽△ABD，

∴=，

∴=，即=．