Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，AE＝CD，連接AD、BE交于點P．

（1）求證：∠BPD＝60°．

（2）連接PC，若CP⊥PB．當AP＝3，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6．

【解析】

（1）證明△ADC≌△BEA即可說明AD＝BE；證明∠BPQ＝∠EBA+∠BAP＝60°即可求解∠PBQ的度數；

（2）延長PD至H，使PH＝BP，連接BH、CH，證明△BPH是等邊三角形，得出BP＝BH＝PH，∠HBP＝∠ABD＝60°，推出∠ABP＝∠CBH，由SAS證得△ABP≌△CBH得出CH＝AP＝3，∠BCH＝∠BAP，證明CH∥BE，推出CH⊥CP，∠HPC＝30°，得出PH＝2CH＝6，即可得出結果．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，

在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD＝60°，

∴∠ABE+∠BAD＝60°，

∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝60°；

（2）解：延長PD至H，使PH＝BP，連接BH、CH，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，

由（1）知：∠BPD＝60°，

∴△BPH是等邊三角形，

∴BP＝BH＝PH，∠HBP＝∠ABD＝60°，

∴∠ABP+∠PBD＝∠CBH+∠PBD，

∴∠ABP＝∠CBH，

在△ABP和△CBH中，，

∴△ABP≌△CBH（SAS），

∴CH＝AP＝3，∠BCH＝∠BAP，

∵∠ABE＝∠CAD，∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠EBC＝∠BAP，

∴∠BCH＝∠EBC，

∴CH∥BE，

∵CP⊥PB，∠BPD＝60°，

∴CH⊥CP，∠HPC＝90°﹣60°＝30°，

∴PH＝2CH＝2×3＝6，

∴BP＝6．