Question

化簡求值：
（1）已知|a+

1

2

|+（b-3）²=0，求代數式[（2a+b）²+（2a+b）（b-2a）-6b]÷2b的值．
（2）已知x+y=a，x²+y²=b，求4x²y²．
（3）計算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2¹²⁸+1）+1．

Answer 1

分析：（1）本題利用非負數的性質求出a，b的值；
（2）本題利用完全平方公式的變形；
（3）本題應將原式乘以（2-1），構造平方差公式的條件，再根據非負數的性質“兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0．”解題．

解答：解：
（1）∵|a+

1

2

|+（b+3）²=0，
∴a+

1

2

=0，b-3=0，
∴a=-

1

2

，b=3，
[（2a+b）²+（2a+b）（b-2a）-6b]÷2b，
=（4a²+b²+4ab+b²-4a²-6b）÷2b，
=b+2a-3，
把a=-

1

2

，b=3代入得：
原式=b+2a-3=3+2×（-

1

2

）-3=-1；
（2）∵（x+y）²=x²+y²+2xy，
∴a²=b+2xy，
∴xy=

a2-b

2

，
∴4x²y²=（2xy）²=（a²-b）²=a⁴-2a²b+b²，
xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

；
（3）（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2¹²⁸+1）+1=（2¹²⁸）²-1+1=2²⁵⁶．

點評：本題考查了非負數的性質，初中階段有三種類型的非負數：
（1）絕對值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算術平方根）．
當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據這個結論可以求解這類題目．