Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD垂足為點E，點F，M分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB＝AC＝BD，連接NF．

（1）判斷線段MN與線段BM的位置關系與數量關系，說明理由；

（2）如果CD＝5，求NF的長．

Answer 1

【答案】（1）位置關系：MN⊥BM，數量關系：MN＝BM，理由見解析；（2）NF＝．

【解析】

（1）根據AB=AC，點M是BC的中點，可證MN⊥BM，AM平分∠BAC，再根據BN平分∠ABE可得出∠MNB的度數，從而可得MN=BM；

（2）連接FM，可證FM∥AC，FM＝AC，從而可得，結合（1）可得，再根據等式的性質通過倒角的關系可知∠NMF＝∠CBD，從而可證△MFN∽△BDC，從而即可求出答案.

（1）位置關系：MN⊥BM，數量關系：MN＝BM，

理由如下：∵AB＝AC，點M是BC的中點，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，

即MN⊥BM，

∵BN平分∠ABE，

∴∠EBN＝∠ABN，

∵AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC，

∴∠MBN＝45°＝∠MNB，

∴MN＝BM；

（2）連接FM，

∵點F，M分別是AB，BC的中點，

∴FM∥AC，FM＝AC，

∵AC＝BD，

∴FM＝BD，即，

由（1）知△BMN是等腰直角三角形，

∴MN＝BM＝BC，即，

∴，

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB＝90°，

∵FM∥AC，

∴∠ACB＝∠FMB，

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB+∠CBD＝90°，

∴∠CBD+∠FMB＝90°，

∴∠NMF＝∠CBD，且，

∴△MFN∽△BDC，

∴，且CD＝5，

∴FN＝．