Question

【題目】已知函數 y1 kx ax a 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點（點 A 在點 B 的左側）,已知函數y2 kx bx b 的圖象與 x 軸交于 C、D 兩點（點 C 在點 D 的左側），其中 k 0, a b

(1)求證：函數 y1 與 y2 的圖象交點落在一條定直線上；

(2)若 AB=CD，求 a、b和k 滿足的關系式；

(3)是否存在函數 y1 與 y2 ，使得 B，C 為線段 AD 的三等分點？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）且；（3）存在這樣的函數，使得B，C為線段AD的三等分點，且.

【解析】

（1）將兩函數的解析式聯立求解即可得；

（2）設A、B、C、D四點的坐標，根據函數解析式分別求出四點的坐標，然后根據列出等式，進行化簡即可求出a、b和k 滿足的關系式；

（3）由題意需分兩種情況：點C在點B的左側，此時有；點C在點B的右側，此時有；利用題（2）求出的四點坐標則可得這些線段的長度，建立等式化簡求解即可.

（1）設交點坐標為

由題意得：

解得：

即交點坐標為

故函數與的圖象交點落在定直線上；

（2）由題意設

求解和兩個方程可得：

則

由得：

解得：

即

代入得

故所求的a、b和k滿足的關系式為且；

（3）根據題意分以下兩種情況：

①點C在點B的左側，此時有，則

當時，

由得，即

將值代入得：

解得：

聯立題（2）的結論得：

因函數與x軸有兩個交點，則

兩邊同除以得

此方程的根的判別式，無解

故不存在，使得B，C為線段AD的三等分點；

當時，

由得，即

將值代入得：

解得：

聯立題（2）的結論得：

因函數與x軸有兩個交點，則

兩邊同除以得

此方程的根的判別式，無解

故不存在，使得B，C為線段AD的三等分點；

②點C在點B的右側，此時有

當時，

由得，即

將值代入得：

由題（2）的結論得：

聯立解得：

即

因函數與x軸有兩個交點，則

兩邊同除以得

解得：

故存在這樣的函數，使得B，C為線段AD的三等分點，且；

當時，

由得，即

將值代入得：

由題（2）的結論得：

聯立解得：

即

因函數與x軸有兩個交點，則

兩邊同除以得

解得：

故存在這樣的函數，使得B，C為線段AD的三等分點，且；

綜上，存在這樣的函數，使得B，C為線段AD的三等分點，且.