Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F．
（1）求證：OE∥AB；
（2）求證：；
（3）若,求的值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）根據等腰梯形的等腰三角形的性質，可得∠B=∠C=∠OEC.，從而判定OE∥AB.
（2）要證明，只需證明四邊形OEHF是平行四邊形，要證明OEHF是平行四邊形，已知它有一組對邊平行，只需再說明另一組對邊平行，由已知EH⊥AB和圓切線的性質即可得到.
（3）要求，只要證明△EHB∽△DEC，再根據相似三角形的性質來求即可.
（1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C.
∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC.
∴OE∥AB．
（2）如圖，連接OF．
∵⊙O與AB切于點F，∴OF⊥AB.
∵EH⊥AB，∴OF∥EH.
又∵OE∥AB，∴四邊形OEHF為平行四邊形.
∴EH=OF，∴.
（3）如圖，連接DE．
∵CD是直徑，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB.
又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴.
∵，設，則，
∴. ∴.