Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D．

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半徑；
②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）直線BC與⊙O相切；

連結OD，如圖所示，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵直線BC過半徑OD的外端，

∴直線BC與⊙O相切．

（2）

解：①設OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，

∴OB=2r，

在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴AB=2AC=6，

∴3r=6，解得r=2．

②在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴∠BOD=60°．

∴．

∴所求圖形面積為．

【解析】（1）連接OD，根據平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據切線的判定推出即可；
（2）①根據含有30°角的直角三角形的性質得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②根據S陰影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有平行線性質，切線的判定，特殊角的直角三角形和分割法求陰影面積。