Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，點E在BC上，連結BD，DE，∠CDE=∠ABD．

（1）證明：DE是⊙O的切線；

（2）若BD=12，sin∠CDE=，求圓O的半徑和AC的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）圓O的半徑為；AC=．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，如圖，根據圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，則∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根據平角的定義得∠ODE=90°，于是可根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；（2）由于∠CDE=∠ABD，則sin∠CDE=sin∠ABD=，在Rt△ABD中，根據正弦的定義得sin∠ABD==，設AD=5x，則AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，則圓O的半徑為；再連結OC，如圖，由于CA=CB，OA=OB，根據等腰三角形的性質得CO⊥AB，則利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可計算出AC的長．

試題解析：（1）證明：連結OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ADO+∠ABD=90°，

∵∠CDE=∠ABD，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠CDE=∠ABD，

∴sin∠CDE=sin∠ABD=，

在Rt△ABD中，sin∠ABD==，

設AD=5x，則AB=13x，

∴BD==12x，

∴12x=12，解得x=1，

∴AB=13，

∴圓O的半徑為；

連結OC，如圖，

∵CA=CB，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠ACO=∠ABD，

在Rt△ACO中，∵sin∠ACO==，

∴AC=×=．