Question

【題目】幾何模型：

條件：如圖1，A、B是直線同旁的兩個定點．

問題：在直線上確定一點P，使PA+PB的值最小．

方法：作點A關于直線的對稱點A′，連接A′B交于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．

模型應用：

（1）如圖2,已知平面直角坐標系中兩定點A（0，-1），B（2，-1）,P為x軸上一動點, 則當PA+PB的值最小時，點P的橫坐標是______，此時PA+PB的最小值是______；

（2）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點.由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱，連接BD，則PB+PE的最小值是______；

（3）如圖4,正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一動點P，則PD＋PE的最小值為 ；

（4）如圖5,在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，點G是邊CD邊的中點，點E、F分別是AG、AD上的兩個動點，則EF+ED的最小值是_______________.

Answer 1

【答案】（1）點P的橫坐標是 1 ，此時PA+PB的最小值是；（2）PB+PE的最小值是 （3）這個最小值為 ；（4）EF+ED的最小值是

【解析】

（1）取點A關于x軸對稱的點A′，連接A′B，交x軸于P，作BH⊥x軸于H，求出OP，得到點P的橫坐標，根據勾股定理求出A′B，得到答案；

（2）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據勾股定理求得即可；

（3）由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果；

（4）作DH⊥AC垂足為H與AG交于點E，點H關于AG的對稱點為F，此時EF+ED最小=DH，先證明△ADC是等邊三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解決問題．

（1）取點A關于x軸對稱的點A′，連接A′B，交x軸于P，作BH⊥x軸于H，

則此時PA+PB的值最小，

∵OA′=OA=1，BH=1，BH∥OA′，

∴OP=PH=1，

∴點P的橫坐標是1，

PA+PB=A′B=，

故答案為：1；2；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根據勾股定理得，DE=；

（3）連接BD，與AC交于點F．

∵點B與D關于AC對稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面積為12，

∴AB=2，

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=2，

故所求最小值為2．

（4）如圖作DH⊥AC垂足為H與AG交于點E，

∵四邊形ABCD是菱形，

∵AB=AD=CD=BC=8，

∵∠B=60°，

∴∠ADC=∠B=60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∵AG是中線，

∴∠GAD=∠GAC

∴點H關于AG的對稱點F在AD上，此時EF+ED最小=DH．

在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，

∴CH=DC=4，DH=，

∴EF+DE的最小值=DH=4．