Question

【題目】如圖，已知圓O是正六邊形ABCDEF外接圓，直徑BE=8，點G、H分別在射線CD、EF上（點G不與點C、D重合），且∠GBH=60°，設CG=x，EH=y．

（1）如圖①，當直線BG經過弧CD的中點Q時，求∠CBG的度數；

（2）如圖②，當點G在邊CD上時，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯結AH、EG，如果△AFH與△DEG相似，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的長為12

【解析】

（1）連接OQ，根據正六邊形的特點和內角和求出∠EBC =60°，然后通過弧之間的關系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因為BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；

（2）在BE上截取EM=HE，連接HM，首先根據正六邊形的性質得出是等邊三角形，則有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，從而有∠C=∠HMB=120°，然后通過等量代換得出∠GBC=∠HBE，由此可證明△BCG∽△BMH，則有，即，則y關于x的函數關系式可求，因為點Q在邊CD上，則x的取值范圍可求；

（3）分兩種情況：①當點G在邊CD上時：又分當時和當時兩種情況；②當點G在CD的延長線上時，同樣分當時和當時兩種情況，分別建立方程求解并檢驗即可得出答案．

解：（1）如圖，連接OQ．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴BC=DE，∠ABC=120°．

∴，∠EBC=∠ABC=60°．

∵點Q是的中點，

∴．

∴，

即．

∴∠BOQ=∠EOQ，

又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，

∴∠BOQ=∠EOQ=90°．

又∵BO=OQ，

∴∠OBQ=∠BQO=45°，

∴∠CBG=60°45°=15°．

（2）如圖，在BE上截取EM=HE，連接HM．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，直徑BE=8，

∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，

∴∠FEB=∠FED=60°．

∵EM=HE，

∴是等邊三角形，

∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，

∴∠C=∠HMB=120°．

∵∠EBC=∠GBH=60°，

∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，

即∠GBC=∠HBE．

∴△BCG∽△BMH，

∴．

又∵CG= x，BE=8，BC=4，

∴，

∴y與x的函數關系式為（）．

（3）如圖，當點G在邊CD上時．

由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，

① 當時，

∵AF=ED，

∴FH=DG，

∴，

即：，解分式方程得．

經檢驗是原方程的解，但不符合題意舍去．

② 當時，

即：，解分式方程得．

經檢驗是原方程的解，但不符合題意舍去．

如圖，當點G在CD的延長線上時．

由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，

① 當時，

∵AF=ED，

∴FH=DG

∴，

即：，解分式方程得．

經檢驗是原方程的解，但不符合題意舍去．

② 當時，

即：，解分式方程得．

經檢驗是原方程的解，且符合題意．

∴綜上所述，如果△AFH與△DEG相似，那么CG的長為12．