Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E為BC的中點，點F在AB邊上，BF=2AF，H在BC延長線上，且CH=AF，連接DF，DE，DH．
（1）求證DF=DH；
（2）求∠EDF的度數并寫出計算過程．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質證明即可．
（2）利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²，求得DG=DF，進而解答即可．

解答 （1）證明∵正方形ABCD的邊長為6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°-∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠A=∠DCH\\ AF=CH\end{array}\right.$

∴△ADF≌△CDH．（SAS） 
∴DF=DH，
（2）連接EF，
∵△ADF≌△CDH
∴∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵點E為BC的中點，
∴BE=CE=3．
∵點F在AB邊上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，$EF=\sqrt{B{E^2}+B{F^2}}=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$．
∴$\underline{EF=EH}$．②
又∵DF=DH，①
DE=DE，③
由①②③得△DEF≌△DEH．（SSS） 
∴$∠EDF=∠EDH=\frac{∠FDH}{2}=45°$．

點評 此題考查全等三角形的判定與性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，以及勾股定理，利用了轉化的數學思想方法．