Question

如圖，已知A，B兩點的坐標分別為A(0，2)，B(2，0)直線AB與反比例函數的圖像交與點C和點D（－1，）．

(1)求直線AB和反比例函數的解析式；
(2)求∠ACO的度數；
(3)將△OBC繞點O逆時針方向旋轉α角（α為銳角），得到△OB′C′，當α為多少度時OC′⊥AB，并求此時線段AB′的長．

Answer 1

（1），（2） （3）當α為60度時OC′⊥AB，此時線段AB′的長為2

試題分析：(1)設直線AB的解析式為，
將A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得
，解得。
∴直線AB的解析式為。

將D（－1，）代入得，。
∴點D坐標為（－1，）。
將D（－1，）代入中得，。
∴反比例函數的解析式為。
(2)解方程組得，。
∴點C坐標為（3，），
過點C作CM⊥軸于點M，則在Rt△OMC中，
，，∴，∴。
在Rt△AOB中，=，∴。
∴∠ACO=。
(3)如圖，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°。
∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。
∵∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2．
答：當α為60度時OC′⊥AB，此時線段AB′的長為2。
點評：本題考查求函數解析式、三角函數，要求考生會用待定系數法求函數的解析式，掌握三角函數的定義，會用三角函數解題