Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若CD=2AD，⊙O的直徑為10，求線段AC的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.

試題分析：（1）要證CD為⊙O的切線，只要證CD垂直于對切點的半徑，故作輔助線：連接OC，由三角形三個內角和為180°的性質和等腰三角形的判定和性質，即能證出∠DCO =90°，從而得證；
（2）要求AB的長，就要考慮它是三角形中的線段或與三角形中的線段有關系，根據垂徑定理，只要作OF⊥AB，即有AB=2AF，故只要求出AF即可，由勾股定理和等量代換即可求得.
試題解析：（1）如圖，連接OC,
∵點C在⊙O上，OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.
∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO.
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."
又∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線.
（2）如圖，過O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.
∴四邊形OCDF為矩形，∴OC=FD，OF=CD.
∵CD=2AD，設AD=x，則OF=CD=2x，
∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x.
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化簡得：，解得或（舍去）.
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，∴AB=2AF=6.