Question

【題目】已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）AC=8，BD=CD=5；（2）5．

【解析】

試題（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．

試題解析：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，

∴由勾股定理得到：AC=．

∵AD平分∠CAB，

∴，

∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，

∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，

∴∠DAB=∠CAB=30°，

∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴BD=OB=OD．

∵⊙O的直徑為10，則OB=5，

∴BD=5．