Question

【題目】長江汛期即將來臨，為便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈(如圖1)，∠BAN=45°.燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是3度／秒，燈B轉動的速度是1度／秒.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN.如圖2，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，求∠BAC與∠BCD的比值，并說明理由.

Answer 1

【答案】2∠BAC=3∠BCD.

【解析】

設A燈轉動時間為t秒，根據A燈的轉動速度及鄰補角的定義，可用含t的代數式表示出∠CAN，而∠BAN=45°=∠BAC+∠CAN，因此用含t的代數式表示出∠BAC； 再利用平行線的性質，可知∠BCA=∠CBD+∠CAN，用含t的代數式表示出∠BCA，再根據垂直的定義，可證∠BCA+∠BCD=90°，再用含t的代數式表示出∠BCD，然后求出∠BAC與∠BCD的比值，即可得出它們之間的關系.

解：設A燈轉動時間為t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，

∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，

又∵PQ∥MN，

如圖，過點C作GH∥PQ∥MN，

則∠HCA=∠CAN,∠BCH=∠CBD,（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，

即2∠BAC=3∠BCD.