Question

【題目】對于平面直角坐標系中的圖形M和點P（點P在M內部或M上），給出如下定義：

如果圖形M上存在點Q，使得，那么稱點P為圖形M的和諧點．

已知點，，，．

（1）在點，，中，矩形的和諧點是_________________；

（2）如果直線上存在矩形的和諧點P，求出點P的橫坐標t的取值范圍；

（3）如果直線上存在矩形的和諧點E，F，使得線段上的所有點（含端點）都是矩形的和諧點，且，求出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)和；(2) 或；(3) 2≤b＜3或-3＜b≤-2.

【解析】

(1)如下圖1中，根據點P為圖形M的和諧點的定義，觀察圖形可知P1和P3是矩形ABCD的和諧點.

(2)如圖2中，求出滿足條件的P1、P2、P3、P4的坐標即可判斷.

(3)當b=3時，圖中線段EF上的點都是和諧點，且，當將直線往y軸負半軸平移時剛好經過點M，此時上的點都是和諧點，且，當再往下平移時，EF上有部分點不再是和諧點，由此求出b的范圍為2≤b＜3；根據對稱性，-3＜b≤-2也滿足.

(1)如下圖1中，根據點P為圖形M的和諧點的定義，觀察圖形可知：

到矩形邊AD和AB的最短距離為2，符合和諧點的定義；

到矩形四邊的距離均大于2，不符合和諧點的定義；

是矩形邊AD的距離為0，符合和諧點的定義；

故是和諧點的是點和.

故答案為：和.

(2)如圖2中：

當直線上的點P到直線AB的距離為2時，可得和均滿足和諧點的定義，此時均是和諧點，故此時的取值范圍是：；

當直線上的點P到直線AD的距離為2時，可得和均滿足和諧點的定義，此時均是和諧點，故此時的取值范圍是：；

故滿足條件的的取值范圍是：或.

故答案為：或.

(3)如下圖3所示：

當b=3時，圖中線段EF上的點都是和諧點，且，

當將直線往y軸負半軸平移且剛好經過點M(-2,1)，

將點M(-2,1)代入解析式，

即：，解得：b=2，且此時

故此時b的范圍為2≤b＜3，

同理，由對稱性可知，當-3＜b≤-2也滿足條件.

故b的取值范圍為：2≤b＜3或-3＜b≤-2.