Question

【題目】△ABC中，BC=12， 高AD=8，矩形EFGH的一邊GH在BC上，頂點E、F分別在AB、AC上，AD與EF交于點M．

(1)求證：；

(2)矩形EFGH可以為正方形嗎?若能，請求出正方形的面積，若不能，請說明理由；

(3)設EF=x， EH=y，設矩形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數表達式，并求出S的最值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）能，SEHGF=；（3）S=-x2+8x，當x=6時S最大=24

【解析】

（1）先判斷出AM是△AEF的高，再判斷出△AEF∽△ABC，即可得出結論；

（2）假設EFGH為正方形設EF=m，則AM=8-m，列出方程求出m的值即可得出答案；

（3）先判斷出四邊形EMDG是矩形，得出DM＝EH，進而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的結論即可得出結論；由矩形的面積公式得出函數關系式，即可得出結論．

（1）證明：∵矩形EFGH

∴EF∥BC

∵AD⊥BC

∴AD⊥EF

又∵△AEF∽△ABC

∴

（2）能，解：假設EFGH為正方形設EF=m

∴AM=8-m

∴

∴m=

∴假設成立SEHGF=

（3）∵EH=y

∴AM=8-y

∵

∴

∴y=8-x

∵S=xy

∴S=x(8-x)

∴S=-x2+8x=-(x-6)2+24

∴a=-＜0、

∴當x=6時S最大=24