Question

【題目】小明在某次作業中得到如下結果：

sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，

sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，

sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，

sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，

sin245°＋sin245°＝＋＝1.

據此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.

(1)當α＝30°時，驗證sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；

(2)小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）成立，證明見解析

【解析】試題（1）將α=30°代入求值即可；（2）設∠A=α，∠B=90°-α，將∠A、∠B便可以是一個直角三角形的兩個角，在直角三角形中利用正弦函數的定義及勾股定理即可驗證.

解：(1)當α＝30°時，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝（）2+（）2＝＋＝1.

(2)小明的猜想成立，證明如下：

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A＝α，則∠B＝90°－α，

∴sin2α＋sin2(90°－α)＝（）2＋（）2＝＝＝1.

故猜想成立.