Question

7．點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a、b滿足：|a+6|+（b-4）²=0
（1）求線段AB的長；
（2）如圖1，點C在數軸上對應的數為x，且是方程x+1=$\frac{1}{4}$x-5的根，在數軸上是否存在點P使PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB？若存在，求出點P對應的數；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，若P點是B點右側一點，PA的中點為M，N為PB的三等分點且靠近于P點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN的值不變；②PM+$\frac{3}{4}$BN的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

分析 （1）利用非負數的性質求出a與b的值，即可確定出AB的長；
（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設點P在數軸上對應的數是m，由PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB確定出P位置，即可做出判斷；
（3）設P點所表示的數為n，就有PA=n+6，PB=n-4，根據條件就可以表示出PM=$\frac{n+6}{2}$，BN=$\frac{2}{3}$×（n-4），再分別代入①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN和②PM+$\frac{3}{4}$BN求出其值即可．

解答 解：（1）∵|a+6|+（b-4）²=0，
∴a+6=0，b-4=0，
∴a=-6，b=4，
∴AB=|-6-4|=10．
答：AB的長為10；

（2）不存在，
∵2x+1=$\frac{1}{4}$x-5，
∴x=-8，
∴BC=12．
設點P在數軸上對應的數是m，
∵PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB，
∴|m+6|+|m-4|=$\frac{1}{4}$×12+3，
令m+6=0，m-4=0，
∴m=-6或m=4．
①當m≤-6時，
-m-6+4-m=13，
m=-7.5；
②當-6＜m≤4時，
m+6+4-m=13，（舍去）；
③當m＞4時，
m+6+m-4=13，
m=5.5．
∴當點P表示的數為-7.5或5.5時，PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB；

（3）設P點所表示的數為n，
∴PA=n+6，PB=n-4．
∵PA的中點為M，
∴PM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{n+6}{2}$．
N為PB的三等分點且靠近于P點，
∴BN=$\frac{2}{3}$PB=$\frac{2}{3}$×（n-4），
∴①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+6}{2}$-$\frac{3}{8}$×$\frac{2（n-4）}{3}$=$\frac{5}{2}$（不變），
②PM+$\frac{3}{4}$BN=$\frac{n+6}{2}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2（n-4）}{3}$=n+1（隨點P的變化而變化），
即正確的結論為①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN的值不變，其值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了一元一次方程的運用，分段函數的運用，數軸的運用，數軸上任意兩點間的距離公式的運用，去絕對值的運用，解答時了靈活運用兩點間的距離公式求解是關鍵．