Question

如圖所示,在平面直角坐標系xoy中,正方形OABC的邊長為2cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線經過點A、B和D（4,）．

（1）求拋物線的表達式．
（2）如果點P由點A出發沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動,同時點Q由點B出發,沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動,當其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動．設S=PQ²（cm²）．
①試求出S與運動時間t之間的函數關系式,并寫出t的取值范圍;
②當S取時,在拋物線上是否存在點R,使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標;如果不存在,請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上求點M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點M的坐標．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：;
（2）①S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t²﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;
②存在.R點的坐標是（3,﹣）;
（3）M的坐標為（1,﹣）．

試題分析：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c,求出A、B、D的坐標代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假設存在點R,可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形,求出P、Q的坐標,再分為兩種種情況：A、B、C即可根據平行四邊形的性質求出R的坐標;
（3）A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M,求出直線BD的解析式,把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標．
試題解析：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c,
∵正方形的邊長2,
∴B的坐標（2,﹣2）A點的坐標是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴拋物線的解析式為：,
答：拋物線的解析式為：;
（2）①由圖象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ²=PB²+BQ²,
=（2﹣2t）²+t²,
即S=5t²﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t²﹣8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1;
②假設存在點R,可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形．
∵S=5t²﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴當S=時,5t²﹣8t+4=,得20t²﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合題意,舍去）,
此時點P的坐標為（1,﹣2）,Q點的坐標為（2,﹣）,
若R點存在,分情況討論：
（i）假設R在BQ的右邊,如圖所示,這時QR=PB,RQ∥PB,
則R的橫坐標為3,R的縱坐標為﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右兩邊相等,
∴這時存在R（3,﹣）滿足題意;

（ii）假設R在QB的左邊時,這時PR=QB,PR∥QB,
則R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在拋物線上．（1分）
綜上所述,存點一點R（3,﹣）滿足題意．
答：存在,R點的坐標是（3,﹣）;
（3）如圖,M′B=M′A,

∵A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M,
理由是：∵MA=MB,若M不為L與DB的交點,則三點B、M、D構成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距離之差為|DB|時,差值最大,
設直線BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐標代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
拋物線的對稱軸是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐標為（1,﹣）;
答：M的坐標為（1,﹣）．