Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐上，且點A(0，2)，點C(，0)，如圖所示：拋物線經過點B。

（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）（-3，1）；（2）y=x²+x-2；（3）P₁（1，-1）、P₂（2，1）.

試題分析：（1）根據題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；
（2）根據拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；
（3）首先假設存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據全等三角形的性質，可得答案．
試題解析：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點B的坐標為（-3，1）；
（2）拋物線y=ax²+ax-2經過點B（-3，1），則得到1=9a-3a-2，
解得a=，
所以拋物線的解析式為y=x²+x-2；
（3）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得點P₁（1，-1）；
②若以點A為直角頂點；
則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
過點P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得點P₂（2，1），
經檢驗，點P₁（1，-1）與點P₂（2，1）都在拋物線y=x²+x-2上．
考點: 二次函數綜合題.