Question

【題目】如圖，已知C為線段AB上的一點，△ACM和△CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點．求證：△CEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由等邊三角形的性質可得AC=CM，BC=CN，再利用角的和差可得到∠ACN=∠MCB，可證明△ACN≌△MCB，可得∠ENC=∠FBC，由條件可得∠ECF=60°，可證明△CEN≌△CFB，可得CE=CF，可知△CEF為等邊三角形．

證明：∵△ACM和△CBN是等邊三角形，

∴AC＝MC，BC＝CN，∠MCA＝∠NCB＝60°，

∴∠ACN＝∠MCB＝120°，

在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴∠ANC＝∠MBC，

∵△ACM和△CBN是等邊三角形，

∴∠MCA＝∠NCB＝60°，

∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

在△CFN和△CEB中，

，

∴△CFN≌△CEB（ASA），

∴CE＝CF，

∵∠ECF＝60°，

∴△CEF為等邊三角形．