Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數y＝的圖象相交于點B，且點B的橫坐標為5，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線的頂點，P和Q分別是x軸和y軸上的兩個動點，則AQ+QP+PB的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意求得B的坐標，然后根據待定系數法求得拋物線的解析式，從而求得頂點A的坐標，求得A關于y軸的對稱點A′（-2，10），B點關于x軸的對稱點B′為（5，-1），根據兩點之間線段最短，即可判斷AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．

∵點B在反比例函數y＝的圖象，且點B的橫坐標為5，

∴點B的縱坐標為：y＝＝1，

∴B（5，1），

∵拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數y＝的圖象相交于點B，與y軸交于點C（0，6），

∴，解得，

∴拋物線為y＝﹣x2+4x+6，

∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，

∴A（2，10），

∴A關于y軸的對稱點A′（﹣2，10），

∵B（5，1），

∴B點關于x軸的對稱點B′為（5，﹣1），

連接A′B′交x軸于P，交y軸于Q，此時AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，

A′B′＝＝，

故AQ+QP+PB的最小值為．