Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

（1）拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；

（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）利用待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式；

（2）根據兩點之間線段最短作N點關于直線x=3的對稱點N′，當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小；

（3）需要分類討論：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3）和②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x﹣1），然后利用二次函數圖象上點的坐標特征可以求得點E的坐標；

（4）方法一：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設Q（x，x+1），則P（x，﹣x²+2x+3）．根據兩點間的距離公式可以求得線段PQ=﹣x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=﹣（x﹣）²+，所以由二次函數的最值的求法可知△APC的面積的最大值；

方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖2．設Q（x，x+1），則P（x，﹣x²+2x+3）．根據圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}﹣S_△AGC=﹣（x﹣）²+，所以由二次函數的最值的求法可知△APC的面積的最大值；

【解答】解：（1）由拋物線y=﹣x²+bx+c過點A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，

解得，

故拋物線為y=﹣x²+2x+3

又設直線為y=kx+n過點A（﹣1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直線AC為y=x+1；

（2）如圖1，作N點關于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直線DN′的函數關系式為y=﹣x+，

當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，

則m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵點E在直線AC上，

設E（x，x+1），

①如圖2，當點E在線段AC上時，點F在點E上方，

則F（x，x+3），

∵F在拋物線上，

∴x+3=﹣x²+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，

則F（x，x﹣1）

由F在拋物線上

∴x﹣1=﹣x²+2x+3

解得x=或x=

∴E（，）或（，）

綜上，滿足條件的點E的坐標為（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：如圖3，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，設Q（x，x+1），則P（x，﹣x²+2x+3）

∴PQ=（﹣x²+2x+3）﹣（x+1）

=﹣x²+x+2

又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ

=PQ•AG

=（﹣x²+x+2）×3

=﹣（x﹣）²+

∴面積的最大值為．

方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖3，

設Q（x，x+1），則P（x，﹣x²+2x+3）

又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}﹣S_△AGC

=（x+1）（﹣x²+2x+3）+（﹣x²+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3

=﹣x²+x+3

=﹣（x﹣）²+

∴△APC的面積的最大值為．