Question

如圖，△ABC與△ADE都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，DE交AC于點F，且AB=5，AD=3．當△CEF是直角三角形時，BD=　　．

Answer 1

或1【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．

【分析】根據等腰直角三角形的性質可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=CE，再分①∠CFE=90°時，根據等腰直角三角形的性質可得AF=EF=AE，再求出CF的長，然后利用勾股定理列式求出CE，從而得解；②∠CEF=90°，求出∠AEC=135°，根據全等三角形對應角相等可得∠ADB=135°，然后求出點B、D、F三點共線，過點A作AG⊥DE，根據等腰直角三角形的性質求出AG=DG=AD，再利用勾股定理列式求出BG，然后根據BD=BG﹣DG計算即可得解．

【解答】解：∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∠CAE=∠DAE﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

①如圖1，∠CFE=90°時，AF⊥DE，

∴AF=EF=AE=×3=3，

CF=AC﹣AF=5﹣3=2，

在Rt△CEF中，CE===，

∴BD=CE=；

②如圖2，∠CEF=90°時，∠AEC=135°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=135°，

∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，

∴點B、D、F三點共線，

過點A作AG⊥DE，

則AG=DG=AD=×3=3，

在Rt△ADG中，BG===4，

∴BD=BG﹣DG=4﹣3=1，

綜上所述，BD=或1．

故答案為：或1．