Question

【題目】如圖，直線AC上取點B，在其同一側作兩個等邊三角形△ABD 和△BCE ，連接AE，CD與GF，下列結論正確的有（ ）

① AE DC；②AHC120；③△AGB≌△DFB；④BH平分AHC；⑤GF∥AC

A.①②④B.①③⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據等邊三角形的性質得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，則可根據”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可對①進行判斷；根據全等三角形的性質得到∠BAE＝∠BDC，則可得到∠BAH＋∠BCH＝60°，從而根據三角形內角和得到∠AHC＝120°，則可對②進行判斷；利用”ASA”可證明△AGB≌△DFB，從而可對③進行判斷；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC邊上的高相等，則根據角平分線的性質定理逆定理可對④進行判斷；證明△BGF為等邊三角形得到∠BGF＝60°，則∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，從而可對⑤進行判斷．

解：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，

∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∵∠DBE＝180°60°60°＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC＝120°，

∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE＝DC，所以①正確；

∠BAE＝∠BDC，

∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，

∴∠BAE＋∠BCD＝60°，

∴∠AHC＝180°（∠BAH＋∠BCH）＝180°60°＝120°，所以②正確；

∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，

∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正確；

∵△ABE≌△DBC，

∴AE和DC邊上的高相等，

即B點到AE和DC的距離相等，

∴BH平分∠AHC，所以④正確；

∵△AGB≌△DFB，

∴BG＝BF，

∵∠GBF＝60°，

∴△BGF為等邊三角形，

∴∠BGF＝60°，

∴∠ABG＝∠BGF，

∴GF∥AC，所以⑤正確．

故選D．