Question

【題目】如圖，在中，，，以為項點作等腰直角三角形，使，連接，射線交于點.

圖1 圖2

（1）如圖1，若點、、在一條直線上，

①求證：；

②若，，求的長；

（2）如圖2，若，，將繞點順時針旋轉一周，在旋轉過程中射線交于點，當三角形是直角三角形時，請你直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②;（2）或2

【解析】

（1）①如圖，過點C作CF⊥CN，交AN于點F，由等腰直角三角形的性質，可求∠CNM=45°，CM=MN，即可證∠FCN=∠ACB，∠CFN=∠CNF=45°，根據“SAS”可證△ACF≌△BCN，可得AF=BN，根據等腰直角三角形的性質可得MF=MN=CM，即可證BN+CM=AM；

②由題意可求出CM=MN=，由全等三角形的性質可得∠CAF=∠CBN，即可證∠MCD=∠CBN，則CM∥BN，可得△MCD∽△NBD，根據相似三角形的性質和勾股定理可求BD的長；

（2）分∠BDH=90°，∠DHB=90°兩種情況討論，根據等腰直角三角形的性質可求CD的長．

證明：（1）①如圖，過點C作CF⊥CN，交AN于點F，

∵△CMN是等腰直角三角形，

∴∠CNM=45°，CM=MN，

∵CF⊥CN，∠ACB=90°，

∴∠FCN=∠ACB，∠CFN=∠CNF=45°，

∴∠ACF=∠BCN，CF=CN，且AC=BC，

∴△ACF≌△BCN（SAS），

∴AF=BN，

∵CF=CN，CM⊥MN，

∴MF=MN=CM，

∴AM=AF+FM=BN+CM；

②∵AM=4，BN=，BN+CM=AM，

∴CM=MN=，

∵△ACF≌△BCN，

∴∠CAF=∠CBN，

∵∠CAF+∠ACF=∠CFN=45°，∠BCN+∠MCD=∠MCN=45°，

∴∠CAF=∠MCD，且∠CAF=∠CBN，

∴∠MCD=∠CBN，

∴CM∥BN，

∴△MCD∽△NBD，∠CMD=∠BND=90°，

∴

∴MD=ND，

∵MD+ND=MN=，

∴ND=，

在Rt△DNB中，BD=，

（2）若∠BDH=90°，如圖，此時點M與點D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN=2，

∴CM=MN=，

∴CD=，

若∠BHD=90°，如圖，

∵∠BHD=90°，∠B=45°，

∴∠BDH=45°，

∴∠CDN=45°=∠N，

∴CD=CN=2．