Question

【題目】如圖1，扇形OAB的半徑為4，∠AOB＝90°，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）連接AQ、BQ、PQ，則∠AQB的度數(shù)為　 　；

（2）當(dāng)P是OB中點(diǎn)，且PQ∥OA時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，將扇形OAB沿PQ對(duì)折，使折疊后的恰好與半徑OA相切于點(diǎn)C．若OP＝3，求點(diǎn)O到折痕PQ的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）如圖，補(bǔ)全圖形，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可；

（2）要想求弧長(zhǎng)，就得求所對(duì)的圓心角的度數(shù)，所以要連接OQ，構(gòu)成圓心角，利用直角三角形直角邊是斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角為30°求出∠1=30°，再利用平行線截得內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠2的度數(shù)，代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

（3）先找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接OO′、O′B、O′C、O′P，證明四邊形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，從而求出OO′的長(zhǎng)，則OM=OO′=．

（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BCA=45°，

∵四邊形ACBQ是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠AQB+∠C=180°，

∴∠AQB=180°-∠C=135°

故答案為：135°；

（2）如圖1，連接OQ，

∵扇形OAB的半徑為4且P是OB中點(diǎn)，

∴OP＝2，OQ＝4，

∵PQ∥OA，

∴∠BPQ＝∠AOB＝90°，

∴∠OQP＝30°，

∴∠AOQ＝∠OQP＝30°，

∴的長(zhǎng)＝＝π；

（3）如圖2，找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接OO′、O′B、O′C、O′P，ON，

則OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，點(diǎn)O′是所在圓的圓心，

∴O′C＝OB＝4，

∵折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切于C點(diǎn)，

∴O′C⊥AO，

∴O′C∥OB，

∴∠POO'＝∠CO'M＝∠PO'M，

∵∠PMO'＝∠QMO'＝90°，

∴∠O'PM＝∠MNO'，

∴O'P＝O'N＝OP＝3，

∴四邊形OPO'N是平行四邊形，

∴O'P＝ON，

∵O與O'關(guān)于PQ對(duì)稱，

∴ON＝O'N＝3，

∴BP＝CN＝4﹣3＝1，

∵PN⊥OO'，

∴∠MNO'＝∠MNO，

∴∠BPO'＝∠CNO，

∴△O'BP≌△OCN（SAS），

∴∠O'BP＝∠OCN＝90°，

∴四邊形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B＝＝2，

在Rt△OBO′中，OO′＝＝2，

∴OM＝OO′＝×2＝，

即O到折痕PQ的距離為．