Question

【題目】如圖①，在中， ， ，將繞點順時針旋轉得，連接、．直線、交于點．

（）當時， __________．

（）在旋轉過程中，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值．若不存在，說明理由．

（）如圖②．若中， ，其余條件不變，四邊形的面積是否存在最大值？若存，求出最大值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（）存在，理由見解析；（）存在，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形兩底角相等，即可解決問題．

（2）存在．首先證明∠AMC=90°，在Rt△ABC中，根據AB=4，BC=3，可得，可得S△ABC=×3×4=6，因為當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，因為△ACM是直角三角形，AC=5，所以當AM=CM=時，△ACM的面積最大，最大值為=，由此即可解決問題．

（3）存在．如圖②中，作AN⊥BC于N．首先證明∠AMC=60°，在Rt△ABN中，AB=4，∠ABN=60°，推出BN=AB=2，AN=，在Rt△ACN中， ，可得S△ABC=×3×2= ，因為當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，因為∠AMC=60°所以當△ACM是等邊三角形時，△ACM的面積最大，由此即可解決問題．

解：（）∵， ，

∴．

故答案為．

（）存在，理由如下，

如圖①中，

∵，

∴，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，∵， ，

∴，

∵，

∴當的面積最大時，四邊形的面積最大，

∵是直角三角形， ，

∴當時， 的面積最大，最大值為，

∴四邊形的面積的最大值為．

（）存在，理由如下，

如圖②中，作于，

∵，

∴，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，∵， ，

∴， ，

在中， ，

∴，

∴當的面積最大時，四邊形的面積最大，

∵，

∴當是等邊三角形時， 的面積最大，

最大值為，

∴四邊形的面積的最大值為．