Question

【題目】已知：如圖1，在中，，∠ABC=30°，，點、E分別是邊、AC上動點，點不與點、重合，DE∥BC．

（1）如圖1，當AE=1時，求長；

（2）如圖2，把沿著直線翻折得到，設

①當點F落在斜邊上時，求的值；

② 如圖3，當點F落在外部時，EF、DF分別與相交于點H、G，如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為，求與的函數關系式及定義域．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）BD=；（2）①x=2；②.

【解析】

（1）根據DE∥BC，可得∠ADE=30°，然后分別利用三角函數求出AB和AD即可；

（2）①設，則AE=EF=4－x，然后證明△CEF是等邊三角形即可解決問題；

②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等邊三角形，然后分別求出HF、FG和AD，利用三角形面積公式計算出和，進而得到，然后根據列式整理，并求出定義域即可.

解：（1）∵，∠ABC=30°，，AE=1，

∴，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=30°，

∴，

∴BD=AB－AD=；

（2）①設，則AE=4－x，

∴EF=4－x，

∵∠ADE=∠B =30°，

∴∠AED=∠C =60°，

∴∠CEF=180°－60°－60°=60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴CE=EF，即x=4-x，

∴x=2；

②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等邊三角形，

∴HF=EF－EH=4－x－x=4－2x，∠FHG=∠CHE=60°，

∵∠F=∠A=90°，

∴FG=HF=，

∴，

∵AE= 4－x，∠ADE=30°，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵當x=2時，點F落在斜邊上，

∴定義域為：，

即.