Question

【題目】已知，在正五邊形中，對角線和交于點，求證：

四邊形是菱形；

；

．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由正五邊形的性質得出∠AED=∠EDC=∠BCD=∠BAE=108°，AB=BC=AE=DE=CD，由等腰三角形的性質得出∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=36°，證出∠EDC+∠BED=180°，得出EF∥CD，同理：CF∥DE，證出四邊形CDEF是平行四邊形，即可得出結論；
（2）由（1）得：∠BAF=∠AEB，∠ABF=∠ABE，即可得出結論；
（3）由菱形的性質得出EF=CD=AB，由相似三角形的性質得出對應邊成比例，即可得出結論．

證明：∵在正五邊形中，對角線、交于，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理：，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴四邊形是菱形；

由得：，，

∴；

由得：四邊形是菱形，

∴，

由得：，

∴，

∴，

∴．