Question

【題目】如圖，A，B，C三點在⊙O上，直徑BD平分∠ABC，過點D作DE∥AB交弦BC于點E，過點D作⊙O的切線交BC的延長線于點F．

（1）求證：EF=ED；

（2）如果半徑為5，cos∠ABC=，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）5

【解析】

⑴根據圓的性質與定義，利用角的關系即可求解；⑵根據圓的定義與性質，利用三角形的性質，通過勾股定理即可求解.

（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵DE∥AB，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠BDF=90°，

∴∠1+∠F=90°，∠3+∠EDF=90°，

∴∠F=∠EDF，

∴EF=DE；

（2）連接CD，AD，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

∵DE∥AB，

∴∠DEF=∠ABC，

∵cos∠ABC=，

∴在Rt△ECD中，cos∠DEC=，

設CE=3x，則DE=5x，

由（1）可知，BE=EF=5x，

∴BF=10x，CF=2x，

在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF=2x，

∵半徑為5m，

∴BD=10，

∵BF×DC=FD×BD，

∴10x4x=102x，

解得：x=，

∴DF=2x=5．