Question

【題目】在矩形中，為的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與點重合，將三角板繞點旋轉，三角板的兩直角邊分別交或它們的延長線)于點，設，下列四個結論：①；②； ③；④，正確的個數是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

過點G作GH⊥BC于H，可證四邊形ABHG是矩形，可得AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，由“ASA”可證△AEG≌△HFG，可得AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，即可判斷②；由旋轉的性質可得點F的位置不確定，可判斷①③；由銳角三角函數可得GE==，可求出△GEF的面積，可判斷④，即可求解．

解：如圖，過點G作GH⊥BC于H，

∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，G為AD的中點，
∴∠A=∠B=90°，AG=DG=1=AB，
又∵GH⊥BC，
∴四邊形ABHG是矩形，
∴AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，
∴∠AGE=∠FGH，
又∵∠A=∠GHF=90°，AG=GH=1，
∴△AEG≌△HFG（ASA）
∴AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，故②正確，
∵將三角板繞點G旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長線）于點E、F，
∴點F的位置不確定，
∴HF不一定等于CF，
∴AE不一定等于CF，故①不正確，
若點F在線段CH上時，CH=HF+CF=AE+CF=1，
若點F在HC的延長線上時，CH=HF-CF=AE-CF=1，
故③不正確，
在Rt△AEG中，GE==，
∵GE=GF，∠EGF=90°，
∴S△EFG=EG2=×.
故④不正確，
故選：A．