Question

【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,對角線AC =10cm,

(1)求證:四邊形ABCD是矩形;

(2)如圖(2),若動點Q從點C出發,在CA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點P從點B出發,在BC邊上以每秒4cm的速度向點C勻速運動,運動時間為t秒(0≤t＜2),連接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;

(3)如圖(3),若點Q在對角線AC上,CQ=4cm,動點P從B點出發,以每秒1cm的速度沿BC運動至點C止.設點P運動了t秒,請你探索:從運動開始,經過多少時間,以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形?請求出所有可能的結果.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.

【解析】試題分析：（1）先根據一對對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據勾股定理的逆定理證明∠B＝90°，得出四邊形ABCD是矩形；

（2）先過Q作QM⊥BC于M點，AP與BQ交于點N，判定△ABP∽△BMQ，得出，即，求得t的值即可；

（3）分為三種情況討論：當CQ＝CP＝4cm時，當PQ＝CQ＝4cm時，當QP＝CP時，分別根據等腰三角形的性質，求得BP的長，進而得到t的值．

試題解析：

證明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，

∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，

∴AB2＋BC2＝AC2，

∴∠B＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖，過Q作QM⊥BC于M點，AP與BQ交于點N，

則CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，

∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，

∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，

∴△ABP∽△BMQ，

∴，

即，

解得t＝；

（3）分為三種情況：①如圖1，

當CQ＝CP＝4cm時，

BP＝8－4＝4cm，

即t＝4秒；

②如圖2，

當PQ＝CQ＝4cm時，過Q作QM⊥BC于M，

則AB∥QM，

∴，

∴，

∴CM＝3.2（cm），

∵PQ＝CQ，QM⊥CP，

∴PC＝2CM＝6.4cm，

∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，

∴t＝1.6s；

③如圖3，當QP＝CP時，過P作PN⊥AC于N，

則CN＝CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，

∵∠PCN＝∠BCA，

∴△PCN∽△ACB，

∴，

∴，

∴CP＝2.5cm，

∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，

t＝5.5s，

即從運動開始，經過4秒或1.6秒或5.5秒時，以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.