Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知P（,）,R（,）兩點，且，，若過點P作軸的平行線，過點R作軸的平行線，兩平行線交于一點S，連接PR，則稱△PRS為點P，R，S的“坐標軸三角形”.若過點R作軸的平行線，過點P作軸的平行線，兩平行線交于一點，連接PR，則稱△RP為點R，P，的“坐標軸三角形”.右圖為點P，R，S的“坐標軸三角形”的示意圖.

（1）已知點A（0，4），點B（3，0）,若△ABC是點A，B，C的“坐標軸三角形”，則點C的坐標為 ；

（2）已知點D（2，1），點E（e，4），若點D，E，F的“坐標軸三角形”的面積為3，求e的值.

（3）若的半徑為，點M（，4），若在上存在一點N，使得點N，M，G的“坐標軸三角形”為等腰三角形，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范圍是或.

【解析】

（1）根據點C到x軸、y軸的距離解答即可；

（2）根據“坐標軸三角形”的定義求出線段DF和EF，然后根據三角形的面積公式求解即可；

（3）根據題意可得：符合題意的直線MN應為y=x+b或y=－x+b．①當直線MN為y=x+b時，結合圖形可得直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第四象限時，b取得最小值，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得b的最小值，進而可得m的最大值；當直線MN平移至與⊙O 相切，且切點在第二象限時，b取得最大值，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得b的最大值，進而可得m的最小值，可得m的取值范圍；②當直線MN為y=－x+b時，同①的方法可得m的另一個取值范圍，問題即得解決.

解：（1）根據題意作圖如下：

由圖可知：點C到x軸距離為4，到y軸距離為3，∴C（3，4）；

故答案為：（3，4）；

（2） ∵點D（2，1），點E（e，4），點D，E，F的“坐標軸三角形”的面積為3，

∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；

（3）由點N，M， G的“坐標軸三角形”為等腰三角形可得：直線MN為y=x+b或y=－x+b.

①當直線MN為y=x+b時，由于點M的坐標為（m，4），可得m=4－b，

由圖可知：

當直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第四象限時，b取得最小值.

此時直線MN記為M1 N1，其中N1為切點，T1為直線M1 N1與y軸的交點.

∵△O N1T1為等腰直角三角形，ON=，∴，

∴b的最小值為－3，∴m的最大值為m=4－b=7；

當直線MN平移至與⊙O 相切，且切點在第二象限時，b取得最大值.

此時直線MN記為M2 N2，其中N2為切點，T2為直線M2 N2與y軸的交點.

∵△ON2T為等腰直角三角形，ON2=，∴，

∴b的最大值為3，∴m的最小值為m=4－b=1，

∴m的取值范圍是；

②當直線MN為y=－x+b時，同理可得，m=b－4，

當b=3時，m=－1；當b=－3時，m=－7；

∴m的取值范圍是.

綜上所述，m的取值范圍是或.