Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，

A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．

（1）直接寫出坐標：D（　 　，　 　）；

（2）當四邊形PODB是平行四邊形時，求t的值；

（3）在平面直角坐標系內是否存在點Q，使得以O、P、D、Q為頂點四邊形為菱形，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5，0；（2）t＝5；（3）滿足條件的點Q的坐標為：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．

【解析】

（1）根據中點的定義求出OD的長即可解決問題；

（2）利用平行四邊形的性質求出PC＝5即可解決問題；

（3）分四種情形：當P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5時，分別求解即可．

解：（1）∵A（10，0），OD＝DA，

∴OA＝10，OD＝DA＝5，

∴D（5，0）．

故答案為5，0．

（2）∵四邊形 PODB 是平行四邊形，

∴PB＝OD＝5，

∴PC＝5，

∴t＝5．

（3）當P1O＝OD＝5時，由勾股定理可以求得P1C＝3，可得Q1（8，4）

當P2O＝P2D時，作P2E⊥OA，

∴OE＝ED＝2.5，可得Q2（2.5，﹣4），

當P3D＝OD＝5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，

∴P3C＝2，可得Q3（﹣3，4），

當P4D＝OD＝5時，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，

∴OG＝8，可得Q4（3，4），

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．