Question

【題目】如圖1，P是線段AB上的一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、G、H．

（1）猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；

（2）當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是菱形；

（2）成立，理由見解析；

（3）補全圖形見解析；四邊形EFGH是正方形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，從而得到AD=BC，因為EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，則可以得到EF=FG=GH=EH，根據四邊都相等的四邊形是菱形，可推出四邊形EFGH是菱形；（2）成立，可以根據四邊都相等的四邊形是菱形判定；（3）先將圖形補充完整，再通過角之間的關系得到∠EHG=90°，已證四邊形EFGH是菱形，則四邊形EFGH是正方形．

試題解析：（1）四邊形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：連接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）

∴AD=CB．

∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，

∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線．

∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．

∴EF=FG=GH=EH．

∴四邊形EFGH是菱形．

（3）補全圖形，如答圖．

判斷四邊形EFGH是正方形．

理由：連接AD，BC．

∵（2）中已證△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已證GH，EH分別是△BCD，△ACD的中位線，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形．