Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（-3，0）、B(2，0)、C(0，4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸上找一點D，使得△BOD與△AOC相似，請直接寫出符合條件的點D的坐標；

(3)若AC與拋物線的對稱軸交于點E，以A為圓心，AE長為半徑作圓，⊙A與y軸的位置關系如何？請說明理由.

(4)過點E作⊙A的切線EG，交x軸于點G，請求出直線EG的解析式及G點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）⊙A與y軸的位置關系為相交，見解析；（4），G的坐標為.

【解析】

（1）根據拋物線過點A（-3，0）、B(2，0)、C(0，4)，利用待定系數法求解即可.

（2）分△BOD∽△AOC和△BOD∽△COA兩種情況，分別利用相似三角形對應邊成比例列出比例式，求出OD，即可得到所有符合條件的點D的坐標；

（3）首先求出直線AC的解析式，得到E點坐標，然后可求出AE的長，再與AO作比較即可得出結果；

（4）由直線EG垂直于直線AC可設直線EG的解析式為：，代入E點坐標即可求出解析式，易得G點坐標.

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線的解析式經過A（-3,0）、B（2,0）、C(0,4).

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵A（-3,0）、B（2,0）、C(0,4)，

∴OA=3，OC=4，OB=2,∠AOC=∠BOC=90°，

①當△BOD∽△AOC時，

則 ，即，

∴OD=，

∴D的坐標為：；

②當△BOD∽△COA時，

則 ，即，

∴OD=

∴D的坐標為：.

綜上所述，符合條件的點D的坐標為；

（3）⊙A與y軸的位置關系為相交.

理由如下：

∵直線AC經過A（-3,0）、C(0,4)

∴直線AC的解析式為

∵拋物線的對稱軸為直線，AC與拋物線的對稱軸交于點E，

∴點E的坐標為，AE=.

∵AO=3，AE=，

∴AO<AE，

∴⊙A與y軸的位置關系為相交

（4）由題意知，直線EG垂直于直線AC，垂足為E，

設直線EG的解析式為：.

∵點在直線上

∴b，即直線EG的解析式為

令中y=0,則

∴點G的坐標為.