Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=13，AD=11，BC=21，E是BC的中點，P是AB上的任意一點，連接PE，將PE繞點P逆時針旋轉90°得到PQ．

（1）如圖2，過A點，D點作BC的垂線，垂足分別為M，N，求sinB的值；

（2）若P是AB的中點，求點E所經過的路徑弧EQ的長（結果保留π）；

（3）若點Q落在AB或AD邊所在直線上，請直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）5π；（3）PB的值為或．

【解析】

（1）如圖1中，作AM⊥CB用M，DN⊥BC于N，根據題意易證Rt△ABM≌Rt△DCN，再根據全等三角形的性質可得出對應邊相等，根據勾股定理可求出AM的值，即可得出結論；

（2）連接AC，根據勾股定理求出AC的長，再根據弧長計算公式即可得出結論；

（3）當點Q落在直線AB上時，根據相似三角形的性質可得對應邊成比例，即可求出PB的值；當點Q在DA的延長線上時，作PH⊥AD交DA的延長線于H，延長HP交BC于G，設PB=x，則AP=13﹣x，再根據全等三角形的性質可得對應邊相等，即可求出PB的值.

解：（1）如圖1中，作AM⊥CB用M，DN⊥BC于N．

∴∠DNM=∠AMN=90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠AMN=∠DNM=90°，

∴四邊形AMND是矩形，

∴AM=DN，

∵AB=CD=13，

∴Rt△ABM≌Rt△DCN，

∴BM=CN，

∵AD=11，BC=21，

∴BM=CN=5，

∴AM==12，

在Rt△ABM中，sinB==．

（2）如圖2中，連接AC．

在Rt△ACM中，AC===20，

∵PB=PA，BE=EC，

∴PE=AC=10，

∴的長==5π．

（3）如圖3中，當點Q落在直線AB上時，

∵△EPB∽△AMB，

∴==，

∴==，

∴PB=．

如圖4中，當點Q在DA的延長線上時，作PH⊥AD交DA的延長線于H，延長HP交BC于G．

設PB=x，則AP=13﹣x．

∵AD∥BC，

∴∠B=∠HAP，

∴PG=x，PH=（13﹣x），

∴BG=x，

∵△PGE≌△QHP，

∴EG=PH，

∴﹣x=（13﹣x），

∴BP=．

綜上所述，滿足條件的PB的值為或．