Question

【題目】如圖,△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點F，連接CF．

(1)求證：BF＝2AE；

(2)若CD=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2+2.

【解析】

（1）根據角邊角定理證明△ADC≌△BDF，得AC=BF，根據等腰三角形三線合一的性質知AC=2AE，從而得BF=2AE;

（2）根據△ADC≌△BDF，得DF=CD，根據勾股定理得CF，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AF=CF，DF+AF即為AD的長.

（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°

∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC=2AF，∴BF=2AE；

(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，

，

∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF=CF=2，

∴.