Question

【題目】閱讀下面材料： 小明遇到這樣兩個問題：

（1）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為D，BC=﹣6，求OD的長；
（2）如圖2△ABC中，AB=6，AC=4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍． 對于問題（1），小明發現根據垂徑定理，可以得出點D是AC的中點，利用三角形中位線定理可以解決；對于問題（2），小明發現延長AD到E，使DE=AD，連接BE，可以得到全等三角形，通過計算可以解決．

請回答：
問題（1）中OD長為；問題（2）中AD的取值范圍是；
參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：
（3）如圖3，△ABC中，∠BAC=90°，點D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點F，AC=mEC，AB=2 EC，AD=nDB．
①當n=1時，如圖4，在圖中找出與CE相等的線段，并加以證明；

②直接寫出 的值（用含m、n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵OD⊥AC，

∴AD=DC，

∵AO=OB，BC=6，

∴OD= BC=3．

（2）3；1＜AD＜5
（3）解：①結論：EF=CE．

理由：如圖4中，延長CD到M使得DM=CD，連接BM．

∵AD=DB，∠ADC=∠BDM，

∴△ADC≌△BDM，

∴BM=AC，∠M=∠ACD，

∴BM∥AC，

∴△CEF∽△MBF，

∴ = ，

∴ = = ，

∴BF=mEF，

∴BE=（m+1）EF，

在Rt△BAE中，BE= = =（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（m+1）EF，

∴EF=CE．

②結論： = ．

理由：如圖3中，作BM∥AC交CD的延長線于M．

由△ADC∽△BDM，可得 = =n，

∴BM= ，

∵ = ，

∴ = ，

∵AC=mEC，

∴BF= EF，

∴BE=（1+ ）EF，

在Rt△BAE中，BE= = =（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（1+ ）EF，

∴ = ．

【解析】（2）如圖2中，延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，CM．
∵AD=DM，BD=CD，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴BM=AC=4，∵AB=6，
∴6﹣4＜AM＜6+4，
即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5．