Question

【題目】現有多個全等直角三角形，先取三個拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．
（1）若取四個直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，則BP：PQ：QR：RS= ;
（2）若取五個直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，則BP：PQ：QR：RS：ST= ．

Answer 1

【答案】4：1：3：2；5：1：4：2：3
【解析】解：（1）∵四個直角三角形是全等三角形，
∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，
∴BP：PR=BC：CE=1，
∵CD∥EF，
∴△BCQ∽△BES．
又∵BC=CE
∴CQ==，
∴DQ=
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠DQR．
又∵∠BAP=∠QDR，
∴△BAP∽△QDR．
∴BP：QR=4：3．
∴BP：PQ：QR=4：1：3，
∵DQ∥SE，
∴QR：RS=DQ：SE=3：2，
∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．
故答案為：4：1：3：2；
（2）∵五個直角三角形是全等直角三角形
∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，
BC=CE=EG，
∴BP=PR=RT，
∵AC∥DE∥GF，
∴△BPC∽△BER∽BTG，
∴PC==，RE==FG，
∴AP=，DR=，FT=
∴AP：DR：FT=5：4：3．
∵AC∥DE∥GF，
∴∠BPA=∠QRD=∠STF．
又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，
∴△BAP∽△QDR∽△SFT．
∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．
又∵BP：QR：RT=1：1：1，
∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3．
故答案為：5：1：4：2：3．
（1）首先證明△BCQ∽△BES，從而可求得CQ=，DQ=EF，然后證明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3從而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，從而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2；
（2） 由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能夠求得：AP：DR：FT=5：4：3，然后再證明△BAP∽△QDR∽△SFT．，求得 BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，因為∵BP：QR：RT=1：1：1，所以可求 得：BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．