Question

【題目】如圖，頂點為A的拋物線y=a（x+2）2﹣4交x軸于點B（1，0），連接AB，過原點O作射線OM∥AB，過點A作AD∥x軸交OM于點D，點C為拋物線與x軸的另一個交點，連接CD．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿著射線OM運動，設點P運動的時間為t秒，問：當t為何值時，OB=AP；
（3）若動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段OD向點D運動，同時動點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動時間為t秒，連接PQ．問：當t為何值時，四邊形CDPQ的面積最小？并求此時PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（1，0）代入y=a（x+2）2﹣4，

得a= ．

∴y= （x+2）2﹣4，

即y= x2+ x﹣

（2）解：由題意得OP=t，AB= =5，

若OB∥AP，即四邊形ABOP為平行四邊形時，OB=AP，且OP=AB=5，即當t=5時，OB=AP，

若OB不平行于AP，即四邊形ABOP為等腰梯形時，OB=AP，連接AP，過點P作PG⊥AB，過點O作OH⊥AB，垂足分別為G、H，

∴△APG≌△BOH，

在Rt△OBM中，

∵OM= ，OB=1，

∴BM= ，

∴OH= ，

∴BH= ，

∴OP=GH=AB﹣2BH= ，

即當t= 時，OB=AP

（3）解：將y=0代入y= x2+ x﹣ ，得 x2+ x﹣ =0，

解得x=1或﹣5．

∴C（﹣5，0）．

∴OC=5，

∵OM∥AB，AD∥x軸，

∴四邊形ABOD是平行四邊形，

∴AD=OB=1，

∴點D的坐標是（﹣3，﹣4），

∴S△DOC= ×5×4=10，

過點P作PN⊥BC，垂足為N．易證△OPN∽△BOH，

∴ = ，

即 = ，

∴PN= t，

∴四邊形CDPQ的面積S=S△DOC﹣S△OPQ=10﹣ ×（5﹣2t）× t= t2﹣2t+10，

∴當t= 時，四邊形CDPQ的面積S最小，

此時，點P的坐標是（﹣ ，﹣1），點Q的坐標是（﹣ ，0），

∴PQ= = ．

【解析】（1）把點B（1，0）代入拋物線的解析式，求出拋物線的解析式；（2）根據勾股定理求出AB的值，若OB∥AP，即四邊形ABOP為平行四邊形時，OB=AP，且OP=AB，當t=5時，OB=AP；若OB不平行于AP，即四邊形ABOP為等腰梯形時，OB=AP，得到△APG≌△BOH，在Rt△OBM中，求出

BM，OH，BH的值，OP=GH=AB﹣2BH的值即可；（3）根據題意求出C的坐標，得到OC的值，由OM∥AB，AD∥x軸，得到四邊形ABOD是平行四邊形，AD=OB，求出點D的坐標，求出S△DOC的面積 ，證出△OPN∽△BOH，得到比例，求出PN的值，得到四邊形CDPQ的面積S=S△DOC﹣S△OPQ，求出PQ的值；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.