Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D為AC中點，點P是線段AD上的一點，點P與點A，點D不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接A1B1、BB1
（1）如圖①，當0°＜α＜90°，在α角變化過程中，請證明∠PAA1=∠PBB2 ．

（2）如圖②，直線AA1與直線PB、直線BB1分別交于點E，F．設∠ABP=β，當90°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，當α=90°時，點E、F與點B重合．直線A1B與直線PB相交于點M，直線BB′與AC相交于點Q．若AB= ，設AP=x，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，

∴∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，

∴∠AA1P=∠A1AP= = ，∠BB1P=∠B1BP= = ，

∴∠PAA1=∠PBB1

（2）解：假設在α角變化的過程中，存在△BEF與△AEP全等，

∵△BEF與△AEP全等，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠BAE=β，

∵AP=A1P，

∴∠A1AP=∠AA1P= ，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°，

∴β+ =45°，

∴α﹣2β=90°

（3）解：當α=90°時，

∵AP=A1P，BP=B1P，∠APA1=∠BPB2=90°，

∴∠A=∠PBB1=45°，

∵∠A=∠C，∠AQB=∠C+∠QBC=45°+∠QBC=∠PBC，

∴△ABQ∽△CPB，

∴ ，

∵AB= ，

∴ ，

∴y=

【解析】（1）將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，根據旋轉的性質得到對應角相等對應邊相等，求∠PAA1=∠PBB2；（2）在α角變化的過程中，存在△BEF與△AEP全等，得到對應角相等對應邊相等，根據三角形內角和定理求出α﹣2β的值；（3）當α=90°時，根據旋轉的性質得到△ABQ∽△CPB，求出比例，得到AB的值，求出y關于x的函數關系式.
【考點精析】本題主要考查了函數關系式的相關知識點，需要掌握用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式才能正確解答此題．