Question

【題目】綜合題。

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，試證明：CD=BE．

（2）如圖2，在△ABC中，仍然有條件“AB=AC，點D，E分別在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB=180°，則CD與BE是否仍相等？若相等，請證明；若不相等，請舉反例說明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）CD=BE

【解析】試題分析：（1）利用AAS證明△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性質即可證得結論；（2）分別作CF⊥AB，BG⊥AC，CD=BE，利用AAS證明△FBC≌△GCB，根據全等三角形的對應邊相等可得CF=BG；再證得∠ADC=∠BEG，利用AAS證明△CFD≌△BGE，根據全等三角形的對應邊相等即可得結論.

試題解析：

（1）證明：∵CD⊥AB于點D，BE⊥AC，

∴∠AEB=∠ADC=90°，

在△ABE與△ACD中， ，

∴△ABE≌△ACD（AAS）．

∴CD=BE

（2）CD=BE， 證明如下：分別作CF⊥AB，BG⊥AC，

∴∠CBF=90°，∠BGC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△FBC和△GCB中， ，

∴△FBC≌△GCB．

∴CF=BG，

∵∠ADC+∠AEB=180°，

又∵∠BEG+∠AEB=180°，

∴∠ADC=∠BEG，

在△CFD和△BGE中， ，

∴△CFD≌△BGE，

∴CD=BE.